Fiche - Suites arithmétiques et géométriques

ISuites arithmétiques

Une suite de valeurs est arithmétique si pour passer d'un terme au suivant, on lui ajoute une même valeur (la raison $r$ ).

Formule de récurrence d'une suite arithmétique

$(u_n)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccc} u_{n+1} &=& u_{n} + r \\ u_0 &=& \text{terme initial} \end{array} \right.$ Formule explicite (utilisée en pratique) pour

$(u_n)$ à partir du terme d'indice 0 :

$u_{n} = u_{0} + r\times n$ Ou à partir de n'importe quel indice :

$u_n$ = (premier terme) + (nombre de termes avant

$u_n$ )

$\times$ (raison)

Pour la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 :

$1+2+3+...+n = \frac{n\times (n+1)}{2}$ Pour toute suite arithmétique la somme vaut : (nombre de termes)

$\times$ (

$\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ )

IISuites géométriques

Une suite de valeurs est géométrique si pour passer d'un terme au suivant, on le multiplie par une même valeur (la raison $q$ ).

Formule de récurrence d'une suite géométrique

$(u_n)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccc} u_{n+1} &=& q \times u_{n} \\ u_0 &=& \text{terme initial} \end{array} \right.$ Formule explicite (utilisée en pratique) pour

$(u_n)$ à partir du terme d'indice 0 :

$u_{n} = u_{0} \times q^n$ Ou à partir de n'importe quel indice :

$u_n$ = (premier terme)

$\times$ (raison) ^{(nombre de termes avant $u_n$ )}

Si la raison

$q \neq 1$ :

$1+q+q^2+...+q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}$ Pour toute suite géométrique la somme vaut : (premier terme)

$\times$

$\frac{1 - (\text{raison})^\text{nombre de termes}}{1 - (\text{raison})}$

IIIExercices types

Exercice 1 Une suite arithmétique

$u_n$ a pour premier terme

$12$ et raison -2. Calculer

$u_{10}$ et

$S_{10}$

Solution :

Calcul de

$u_{10}$ :

$u_{10} = 12 + 10 \times (-2)\\ u_{10} = -8$ Calcul de

$S_{10}$ :

$S_{10} = 11 \times \frac{12 + (-8)}{2} \\ S_{10} = 22$

Exercice 2 Une suite arithmétique

$u_n$ a pour 10ème terme

$u_10 = -28$ et raison -3. Calculer

$u_{0}$ et

$S_{10}$

Solution :

Calcul de

$u_{0}$ :

$u_{10} = u_0 + 10 \times r\\ -28 = u_0 + 10 \times (-3)\\ -28 = u_0 - 30\\ -28 + 30 = u_0\\ u_{0} = 2$ Calcul de

$S_{10}$ :

$S_{10} = 11 \times \frac{2 + (-28)}{2} \\ S_{10} = -143$

Exercice 3 Une suite géométrique

$u_n$ a pour premier terme

$1024$ et raison

$\frac{1}{2}$ . Calculer

$u_{5}$ et

$S_{4}$

Solution :

Calcul de

$u_{5}$ :

$u_{5} = 1024 \times (\frac{1}{2})^5\\ u_{5} = 32$ Calcul de

$S_{5}$ :

$S_{4} = 1024 \times \frac{1-\frac{1}{2}^5}{1 - \frac{1}{2}} \\ S_{4} = 1984$

Exercice 4 Une suite géométrique

$u_n$ a pour 4ème terme

$u_4 = -80$ et raison -2. Calculer

$u_{0}$ et

$S_{4}$

Solution :

Calcul de

$u_{0}$ :

$u_{4} = u_0 \times r^4\\ -80 = u_0 \times (-2)^4\\ -80 = u_0 \times 16\\ \frac{-80}{16} = u_0\\ u_{0} = -5$ Calcul de

$S_{4}$ :

$S_{4} = -5 \times \frac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)} \\ S_{4} = -55$